百师联盟2022届高三冲刺卷(一)数学答案

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20.解(1：点P(.号在椭圆上，1·122X=1,”椭圆的离心率e=C=2,a2∴.a2=2c2=b2+c2,1即b2=c2=号a2,22代入+-1得到2.6=1，2心椭圆C的方程为2十y=1.…4分(2)假设存在..|2OA+OB1=|2OA-OB1,.∴.(2OA+OB)2=(2OA-OB)2,得到OA·OB=0,①当直线l的斜率不存在时，设l:x=t,①当直线L的斜率不存在时，设L:x=t,代入椭圆方程得y=士1-不令A(-)B(,-,由0i.0店=0，得1-1+兮=0，解得1=士32时x=士9，与圆x十y=3相切.…73②当直线L的斜率存在时，设l:y=kx十m,A(x1,y1）,B(x2y2）,联立x2+2y=2,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-y=kx十m,2=0,则△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,由根与系数的关系得x1十x2=一Akm+2k22m2-2x1x:=1十2k2,则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2十km(x1十2)+m2=m2-2k2+2k2,由OA·OB=0,即x1x2十y1y2=0可得2m2-21+2k2+m2-2k21十2k2=0,整理得m2=号k23-3,清足△>0，00√√6k2+13,即原点到直线1的距离为3，2∴.直线1与圆x2十y2=相切.3综上所述，存在定圆E,使得直线1与圆E相切，这时定圆E的方程为x2十y2=2312分

18.解(1)因为Q为AD的中点，PA=PD,所以PQ⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PQ⊥平面ABCD,又因为ABC平面ABCD,所以PQ⊥AB.根据条件AD=2BC,AD.DC=0,BC=1,可知AD=2BC=2,AD⊥CD,又因为PA=PD=2,所以△PAD为正三角形，故PQ=√3，因为PQ⊥平面ABCD,11因为PQ⊥平面ABCD,所以Vp-ABD=13XPQ·Saam=号XPQx号×3ADXCD=36分(2)以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0),P(0,0,3),所以AB=(一1,1,0)，PB=(0,1,-3),设平面PAB的法向量为m=(x,y,之)，则网语时店取=6又因为PC=(一1,1，一√3)，设直线PC与平面PAB所成角为O,设直线PC与平面PAB所成角为0，则m0=csFC.m=mPC·m(-1)×W3+1×√3+(-√3)×1(-1)2+1+(-3)2×/(W3)2+(3)+1√/10535所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为/105…12分35