2022届智慧上进·名校学术联盟 高考模拟信息卷 押题卷(七)7全国卷乙 理科数学答案

20.(12分)已知函数f(x)=ae-x-1(a∈R)

(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；

(2)设函数g(x)=f(x)+x-lnx,若g(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围.

(1)证明：当a=1时，f(x)=e一x-1,

所以f'(x)=e2-x-1

令f(x)=0,得x=0

当x∈(-∞，0)时f'(x)<0,f(x)在(-，0)上单调递减；

当x∈(O,+∞)时f'(x)>Of(x)在(,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=0处取得唯一的极小值，即为最小值.

所以f(x)=e-x-1≥f(0)=0

即当a=1时，f(x)≥0.