2022届炎德英才大联考长郡中学模拟二数学答案

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21.解:(1)设g(x)=f(x)-e2=(x-1)e2-ax2U g(x)=xe- 2ar=z(e-2a)当a≤0时,令g(x)>0,得x>0,令g(x)<0,得x<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2分)当0 0,得x<1n2a或x>0,令g(x)<0,得1n2a 0恒成立,所以g(x)在R上单调递增;(4分)当a>时,令g(x)>0,得x<0或x>ln2a令g(x)<0,得0 时,g(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,i2a)上单调递减(6分x≥0得aT(2)由f(x≥0当x>0时,e-x2-ax-1≥0,即a≤e-x2-1对Vx>0恒成立(7分)设h(x)则h(x)=(x=1)(c-x设q(x)=e2-x-1,则g(x)=c-1因为x>0,所以p(x)>0,可知g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即e2>x+1,(10分)所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,可得h(x)≥h(1)=e-2,所以a≤e-2,所以实数a的取值范围是(-∞,e-2](12分)

20.解:(1)由抛物线的定义知AB=AF,又AF=BF,所以△ABF是等边三角形,且AB=AF=BF=2p,(2分)因此△ABF的面积S△AB=方×2pX√3p=√3p可得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x(4分)(2)设直线l的方程为x=my+1,M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),y2=4x,由x=my+1得y24myx-4=0,则有y1+y2=4m,y1y2=-4.(6分)于是MN=x1+x2+2=my1+1+my2+1+2=m(y1+y2)+4=4m2+4,(8分)点Q(-1,0)到直线l:x-my-1=0的距离dm2+1(9分)所以S=MNd=×(4m2+4)×,24√m2+1(11分)因为m∈R且m≠0,于是S>4,所以△QMN的面积S的取值范围是(4,+∞)(12分)