[绵阳二诊]绵阳市高中2019级第二次诊断性考理科数学答案

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21.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值点的个数、最值,不等式恒成立问題,考查分类讨论思想、转化与化归思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养【解】(1)由题意,得∫(x)=a+e(x2+2x),x>O当a≥0时,f(x)=+e(x2+2x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值(1分)当a<0时,∫"(x)e(x3+2x2)设φ(x)=e‘(x3+2x2),x>0,则φ'(x)=e'(x3+5x2+4x)>0所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增,且φ(0)=0,故方程a+e(x3+2x2)=0存在唯一解xn当x∈(0,x)时,f(x)<0,f(x)单调递减当x∈(x,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=x处取得极小值(4分)故当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上无极值;当a<0时,f(x)在(0,+∞)上存在一个极小值点(5分)(2)不等式xe2-(a+1)x-1≥lnx恒成立,即a≤e1+x+In x恒成立令g(x)=e1+x+lnx则g(x)=e+hx令h(x)=xe'+lnx,x>0,则h'(x)=(2x+x2)e'+->0所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.(7分)又1)=0)-…-1-2-10所以存在x1∈,1,使h(x1)=x2e2+hnx1=所以当x∈(0,x)时,h(x)<0,即g'(x)<0,则g(x)在(0,x1)上单调递减,当x∈(x1,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,则g(x)在(x1,+∞)上单调递增,(9分)则g(x)m=g(x1)=e1+, +In x则g(x)在(x1,+∞)上单调递增,(9分)则g(x)m=8(x)=e、1+x1+lmx1由①得xe=-1lmx=hn1=n1.设m(x)=xe2,易知m(x)=xe在(0,+∞)上单调递增所以x1=hn1.③(11分)将③代入②,得g(x)mn=0因此实数a的取值范围是a≤0(12分)s名师评题本题利用导数研究函数的极值点个数和恒成立问题,第(1)小题直接对所给函数求导,针对参数进行讨论,确定好参数的分类标准非常关键,注意到极值点不需求出,设而不求是常见的处理策略;第(2)小题先分离参数,转化为求函数的最小值,注意利用“同构”由xe+mx1=0得到x1=ln1=-nx1是本题的难点所在

15.22【命题意图】本题考查三棱锥的三视图,体现了直观想象、数学运算等核心素养【解析】由三视图可知该三棱锥镶嵌在正六棱柱内,如图.正六棱柱的底面是边长为1的正六边形,高为2,从而该三棱锥的最长棱长为该正六棱柱外接球的直径,设外接球的半径为R,则2R=√2+2=22