[惠州三调]惠州市2022届高三第三次调研考试数学答案

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19.(1)证明:∵:AC=√5,AB=2,BC=1,AC2=AB2+BC2△ABC为直角三角形,AB⊥BC又∵平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,BCc平面ABC,BC⊥ABBC⊥平面ABD又∵ADc平面ABD∴AD⊥BCAB是半圆O的直径,AD⊥BD,又∵BC∩BD=BAD⊥平面BCDCDc平面BCD.AD⊥DC.6分(2)解:以D为坐标原点,分别以DB,DA所在直线为x,y轴,过点D作平面ADB的垂线为z轴建立空间直角坐标系,由(1)得,BD⊥BC∴BD=1,AD=√3∴D(0,0,0),A(O,√3,0),B(1.0),C(1,0,1)AD=(0,-3,0),AC=(1,-3,1),AB=(1,-3,0),设平面ADC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),由7D=3y=0取x1=1,得n=(1,0,-1)nAC=x1-√3y1+z1=0设平面ABC的一个法向量为m=(x2,y2,z2)由m,AB=x2-√3y2=0,取y2=1,得m=(√3,0)m:AC=x2-√3y2+22=0设二面角D一AC-B的平面角为0,O为锐角nn∴cosb=12分m|·|n|4

20解:(1)∵椭圆右顶点为(a,0)∴过点P(0,1)与椭圆C的右顶点的直线斜率为--=解得:a=2√36∴c=2√2,b2=a2-c2=4椭圆的方程为x+y=1…5分124(2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx+1y=h+I由得:(3k2+1)x2+6kx-9=0x2+3y2=12设A(x1,y1),B(x2,y2)6k则x1+x2=212Xxk2+13k2+1假设存在点N(0,y0)NA·NB=(x1,y1-y0)(x2,y2-y0)=x1x2+(y1-y0)(y2-y0)x1x2+(x1+1-y0)kx2+1-y)xx2+k2x2+k(1-y0)(x1+x2)+(1-y)29(1+k2)6k(1-y0)3k2+13k2+/+(1-1)9-9k2-6k2(1-y0)+(1-y0)2(3k2+1)3k2+1[3(1-y0)2-6(1-y)-9k2+(1-y0)2-9=0恒成立3k2+1故3(1-y)2-6(1-y0)-9=0且(1-y0)2-9=0解得:y0=-2所以存在点N(0,-2)12分