2022衡水金卷全国乙卷信息卷理数答案

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18.【解题思路】(1)先由统计图得到参与谋后服务次数分别为2,3,4,5的人数，再利用平均数的计算公式求解即可；(2)先利用分层扫样的知识得到拍取的5人中参与课后服务次数为2和5的人数，再利用列举法和古典概型的薇率计算公式求解即可，解：(1)由统计图可知，50名教师中，参与课后服务2次的有8人，参与课后服务3次的有10人，参与课后服务4次的有20人，参与课后服务5次的有12人，(2分)所以这50名教师在该星期参与课后服务的平均次数为2×8+3×10+4×20+5×12503.72(4分)(2)由分层抽样的知识可知，抽取的5人中，参与课后服务次数为2的有2人，分别记为a,b,参与课后服务次数为5的有3人，分别记为A,B,C.(5分)从这5人中随机抽取2人，包含的基本事件有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种，（用列举法求基本事件的个数时，要做到不重不溺)(8分)记“抽取的2人参与课后服务次数不同”为事件M,则事件M包含的基本事件有(a,A),(,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),共6种，(10分)所以抽取的2人参与课后服务次数不同的概率63P(M)=i0=5(12分)

21.【解题思路】(1)①f(x)=-x-asin x→f’(x）=x-1-aco5x令gx)■x-1-00s→g'(x)0→函数f'(x)在Rf"(1)<0f'(2)>0上单调递增存在唯一的∈(1,2),使得∫'()=0一(x)的单调性为f(x)唯一的极小值点2f'(n）=0→ac0s无+1=fo）+1e1,2)2=ax(-m)f代）+>π2 0→即证3ainx<3x+的选商数4()=3二。青xcos(>0)+h'(x) <当0e(1,牙)时，易知in0> cos6>0,放只0+函数h(x)在R上单调递减→当x>0需证--am6<0(6分)时A()<0一3： <营> 0)一得证由∫'(x)=0可知acos+1=o,(注意解：1)由)=2--asi血，得f"x)f'(x)=0在不等式证明中的应用)x-1-ac03x,即证2-2。-6+1<0，即证(%-1)(。-令g(x)=x-1-acos x,0 0，(2分)要号+co).即证3sinx<3x+xc05x(x>0).(9分)故存在唯一的0e(1,),使得∫"()=0，sinxx且当x∈(-x,)时，f(x)单调递减，当x∈构造函数h(x)=3-了，（张据要证明的不(,+)时x)单调递增，等式合理构造函数)(10分)故x为八x)唯一的极小值点(4分)则h'(x)=-c0s2x+3c05x-6②解法一由f'(）=0可知ac0s如-+3(3+c0sx)21=0,即ac0sx0+1=x0,-(0sx-23)2_1543(3+c05x)2<0,所以尺)=2·名-名-asin名=2(a0s名+所以函数h(x)在R上单调递减，1)-xo-asin xo,则)+=a(分m气-血)-=m名（分-所以当>0时，() 0,3inx<3x+xcos x恒ln名），(6分)成立，因为6e(1,受)，所以)+2=a0s6(分-故原不等式得证(12分)m) am1>tam年=1>年，所以）+<0，得证(8分)解法二要证f()+2<0,即证号-2*o-asin <0