[甘肃二诊]2022年甘肃省第二次高考诊断考试理科数学试题答案

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12.B【学科素养】试题设计巧妙,将函数的图象与性质迁移到所创设的情境中,考生可以从不同角度分析函数的特征,主动探究的能力得到展示,同时也体现了数学探索学科素养思维导图】当x>0时,f(x)=xnx一→当x>0时f(x)=1+lnx-当x>0时f(x)的单调性一→当x>0时,f(x)≥-1f(x)为R上的奇函数当x<0时,f(x)≤作出函数f(x)的图象作出g(x)=(2a)2-4(2a+1)>0-1<-a<1的图象→结果1+2a+2a+1>0【解析】当x>0时f"(x)=1+lnx,令∫(x)=1+1nx=0,得x=1,当0 时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以当x>0时,(x)≥(1)=-1因为f()为奇函数,所以当x<0时x)≤当x>时,令∫(x)=0,得x=1,则函数f(x)在(0+∞)上有唯一零点x=1,作出函数f(x)的图象,如图1所示令t=g(x)=ef(x),则当x>0时,t≥-1;当x<0时,t≤1,作出g(x)的图象,如图2所示图2数形结合可知,要使关于x的方程e2(f(x)2+2aef(x)+2a+1=0恰有6个实数根,则方程2+2a+2a+1=0在(-1,1)上有2个不相等的实数根,(点拨:当方程t2+2at+2a+1=0有2个解且每个解对应3个x的值时,方程e2(f(x))2+2aef(x)+2a+1=0才有6个实数根)△A=(2a)2-4(2a+1)>0,l<-a<1故a满足条件解得1+2a+2a+1>0,1-2a+2a+1>0,1

21.【关键能力】本题考查逻辑思维能力、运算求解能力【思维导图】(1)已知一(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=e-2axf(x)=0→2a=令h(x)=(x∈(0,+∞)h(x)=xh(x)在(0,+∞)上的单调性一→h(x)在(0,+∞)上的最小值f(x)有两个极值点→2a>e的取值范围(2)x1,x2是f(x)的两个极值点一rx2)=s-2-0-2x-x-x(x2-x1)(e2-+1)不妨令与>>0,设=t>0,x1+x2=(e+1)要证x1+x2>2,只需证(4-2)e+t+2>0(t>0)—→令g(t)=(t2)e+t+2利用导数研究g(t)在(0,+∞)上的单调性t>0时,g(t)>0—得证解:(1)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞f(x)=e2-2a令f(x)=0得2a=若f(x)有两个极值点,则关于x的方程2a≈e在(0,+∞)上有两个不相同的实数根.(1分)令h(x)=(x∈(0,+∞)),则h'(x)=x-1)e2(2分)当0 h(x)单调递增,所以在(0+∞)上,h(x)≥h(1)=e又当x→0时,h(x)→+∞,当x→+∞时所以若f(x)有两个极值点,则2a>e,即a>所以实数a的取值范围为(2,+∞)2)因为x1,x2是f(x)的两个极值点(x1)=e-2ax1=0(x2)=e-2ax2=0,两式相减得2a=-e两式相加得x1+x2x1)(e+(x2-x1)(e2“+1)(7分)不妨令x2>x1>0,设t=x2-x1,(将多变量转化为单变量解题)则:>0,x1+x2=(C+1)(8分)要证x1+2>2,只需证(+1)>2(>0),即证t(e+1)>2e-2(t>0)即证(t-2)e+t+2>0(t>0)(9分)令g(1)=(4-2)e'+t+2,(构造函数,利用函数的性质解题)则g'(t)=(t-1)e'+1,令m(t)=(t-1)e+1,则m'(t)当1>0时,m(t)>0,m(t)单调递所以当t>0时,m(t)>m(0)=0即当t>0时,g"(t)>0,g(t)在(0,+∞)上单调递增所以当>0时,g(t)>g(0)=0,即(t-2)e+t+2>0在t>0时恒成立>2成立(12分)【解题关键】解决第(2)问的关键有两点:①利用方程思想求出x1+x2=(x2-x1)(e+1)②转化思想,设t=x2一x1>0,欲证明x1+x2>2,即证(-2)e'+t+2>0,将复杂问题简单化