金学导航·模拟卷·2022届高三数学（理）试题（十）·D区专用答案

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18解(1)证明:连接ACBD交点为o,∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD∵B=PD,OB=OD,∴BD⊥O22分又∵OP∩AC=0,BD⊥面PAC又BDc面PAC…面PAC⊥面ABCD4分(2)方法1:∵面PAC⊥面ABCD,过点P做PE⊥AC,垂足为EPE⊥面ABCD:A与底面ABCD所成的角为30,∴∠PAC=30.6分又PA⊥PC,设PC=2,则AP=2 3.PE= 3.AE=3, AC=4, AD=22过F做垂直于AB垂足为E则AF2322L如图所示,以A为坐标原点,AB,AD为xy轴的正方向建立空间直角坐标系A-x2设面PBC法向量为=(xy),BC=(0250V√322B=0=0u uz1 CP=0√2x十√:=022令=1.则=0x=√6,∴=(601).9分同理面PCD的法向量2=(√6).10分LE LL+cosn,7311分∴二面角B-PC-D的正弦值…12分7(2)方法2∵面PAC⊥面ABCD,过点P做PE⊥AC垂足为EPE⊥面ABCD∵mA与底面ABCD所成的角为30,∴∠PAC=30°,.9分设AB=a,则,AB=BC=CD=DA=3AC=√5a,由PA⊥PC,∠PAC=30得AP=ya,2323PE=a,AE==-a,过E做EF垂直AB,垂足为E则AF=-a,如图所示,以A为坐标原点,,为x轴的正方向建立空间直角坐标系A-x所以可得:A(0,0)Ba,00ca,a,o,D,a0),3368分6a),BC=0a0),DC=a,0,0444BC=O0设面PBC法向量为几=(xy){e罗=06an,x-y+二=0446令21则{y=0,即n=(6019分设面PCD的法向量n2=(x2,y2,=2),则{2·DC=0a3=0n·CP=0X,y,+00令21则1=√6,n=061分直接书写:同理可得n2=(0√6,1),本次考试不扣此步骤分)所以COS元11分则二面角B-PC-D的正弦值为4312分7

13.2