2023届衡水金卷先享题分科综合卷 新教材一地理 答案

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22.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线1过点M(4,0).(1)若点F到直线1的距离为√3，求直线1的斜率：(2)设A,B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证：线段AB中点的横坐标为定值【答案】(1)±(2)证明见详解」2【解析】【分析】(1)设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线：(2)设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明【详解】(1)由条件知直线1的斜率存在，设为k,,则直线1的方程为：y=k(x-4),即kx-y-4k。=0.从而焦点F(1,0)到直线1的距离为d=√5，故直线斜率为：2(2)证明：设直线AB的方程为y=k+b(k≠0)，联立抛物线方程y2=4x,消元得：k2x2+(2kb-4)x+b2=0.设Ax,),Bx2,2),线段AB的中点为P(o,),故，+2地2k因为PM⊥AB,.KPMkAB=-l.将M点坐标代入后整理得：2k—×k=-12-kb-4k2即可得：2-kb=2k22k一×k=-12-kb-4k2即可得：2-kb=2k2故X0=2-kb 2k2k2=?=2为定值.即证【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题