[南宁二模]南宁市2022届高中毕业班第二次适应性测试理科数学试题答案

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22.解:(1)当PB=2√2时,平面PAD⊥平面ABCD证明如下因为AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA又AB=PA=2,所以PB-2√2(4分)(2)分别取线段AD,BC的中点O,E,连接PO,OE因为△ADP为等边三角形,O为AD的中点,所以PO⊥AD,O,E为AD,BC的中点所以OE∥AB,又 AB AL,所以OE⊥AD,故∠POE为二面角P一AD一B的平面角,所以∠POE=150°,如图,分别以OA,O的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系OxyzPCEB因为OP=√3,∠POE=150°,所以P(,一2.),A(.0.0,(120,c(-.可得AB=(0,2,0),PB设n=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量,PB·n=0则有PC·n=0,7即5√3令x=1,可得n=(1,-2,-4√3),设AB与平面PBC所成的角为0,则有sin-AB·nABIn12+(-2)2533所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为2√53(12分

3.D【解析】三个顶点A,B,C在yOz平面上的射影点的坐标分别为:A'(0,1,1),B'(0,2,1),C(0,2,3),则A'B'=1,A'C′=√5,B'C′=2,可得A'B2+B'C2=A'C2,即射影点构成的图形是一个直角三角形,∴它的面积为S=b×1×2=1.故选D