衡水金卷先享题 2023届分科综合卷 新教材SX·A 数学(二)2答案

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3.C【解析】双曲线C:的渐近线方程为y=士√2x,由题得G的渐近线方程为)=士号所以一号又C2的顶点为(0，士2√2)，所以b=2√2，解得a=4,所以C1的实轴长为2a=8.故选C,

20.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,AD,CDC底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD因为点E是PD的中点，所以AE=PD,又△ACE为等边三角形，所以CE=AE=专PD,可得CD1PC又PA∩PC=P,所以CD⊥平面PAC,又ACC平面PAC,所以CD⊥AC,所以AC=√D-CD=3,所以AE=AC=√5，PD=25,所以PA=√PD一AD萨=2√2.(5分)(2)点E在核PD上靠近点D的五等分点处.证明：由题知∠ABC=60,山余弦定理得AC=AB+B(C一2AB·BCco60°=1+4-2×1×2×2=3,所以AB+AC2=BC,所以AC⊥AB,又PA⊥AB,PA⊥AC,所以PA,AB,AC两两垂直，(6分)所以以A为原点，以AB,A亡，A户分别为x,y,:轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由题得A(0,0,0),P(0,0.2),C(0√3,0)，D(-1.月0)所以Pi=(-13.-2),AC=(0w5,0),设P正=APi(0<<1),所以AE=AP+P元=AP+xPD=(0.0,2)+2(-1w5,-2)=(-XW3x.2-2以).(7分)设平面ACE的法向量为m=((,y,2),m·AE=0由m·AC=0-ax+V5yi+(2-2以)x=0,得y=0取=1.则m=(2,2,0.1)月(9分)易知平面PAC的一个法向量为n=(1,0,0)(10分)设二面角P一AC-E的大小为0，显然8为锐角，则cos日=|cos〈m,n〉1=m·alm2-2√2)+0+×+0+0解得A=号（以=令舍去）即点E在棱PD上常近点D的五等分点处(12分)