腾·云联盟2022-2023学年度上学期高三年级十月联考数学答案

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21.(12分)如图，在直棱柱ABCA1B,C1中，已知AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,点D,E,FD分别是A1B1,CC1,BC的中点.(1)求异面直线AE与DF所成角的大小；B(2)求点A到平面DEF的距离；(3)在棱AA,上是否存在一点M,使直线ME与平面DEF所成角的大小是45°？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意，以A为原点，AB,AC,AA1的方向分别为x轴、y轴与x轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图则A(0,0,0),E(0,2,1),D(1,0,2),F(1,1,0),故AE=(0,2,1),DF=(0,1,-2),从而1c0s(A2,D1=AE.D_12-2到|AEDF1√5X√5三0，所以异面直线AE与DF所成角的大小为90°DBBD(2)由(1)得DE=(-1,2,-1),设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),D正=0脚z+29=0.DF-0.则y-2z=0,取z=1,得到平面DEF的一个法向量为n=(3,2,1).点A到平面DEF的距离为d=A应，n=l4+1到5vn√/1414(3)假设存在满足条件的点M,设M(0,0,h)(h∈[0,2])，则ME=(0,2,1一h),所以sin45°=|cos(Mi,n=IME·nlME15-h2W14X√4+(1-h)2，即3h2一2h十5=0，此方程无实数解，故不存在满足条件的点M.

2.已知空间中两条不同的直线m,n和平面a,则下列命题正确的是A.若m⊥a,n⊥a,则m∥nB.若m∥a,n∥a,则m∥nC.若m⊥n,n⊥a,则m⊥aD.若m⊥n,n∥a,则m⊥a【答案】A【解析】对于A,m⊥a,n⊥a,由线面垂直的性质知，m∥n,A正确；对于B,如图，在长方体ABCD-A,B,C1D)中，平面ABCD视为平面a,棱A1B1,A1D1所在直线分别视为直线m,n,如图，ADi显然有m∥a,n∥a,此时m与n相交，B不正确；对于C,在长方体ABCD-A1B,C1D1中，平面ABCD视为平面a,棱A1B1,AA1所在直线分别视为直线m,n,显然有m⊥n,n⊥a,此时m∥a,C不正确；对于D,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD视为平面a,棱A:B1,A:D1所在直线分别视为直线m,n,显然有m⊥n,n∥a,此时m∥a,D不正确.